Vyriešil už niekto nasledovný matematický paradox?

V matematike je možné dokázať, že medzi dvoma odlišnými ľubovoľne blízkymi reálnymi číslami existuje aspoň jedno iracionálne číslo. Popritom je možné dokázať aj to, že medzi dvoma odlišnými ľubovoľne blízkymi iracionálnymi číslami existuje aspoň jedno racionálne číslo.

Toto by bolo aj v poriadku, lenže problém sa začína tam, že tiež je možné matematicky dokázať, že početnosť iracionálnych čísel (presnejšie povedané: transcendentných čísel) je nekonečnekrát väčšie, ako početnosť racionálnych čísel.

Z toho potom vyplýva, že na každé racionálne číslo pripadá nekonečne veľa iracionálnych čísel a to je v rozpore s prvým tvrdením.

Podarilo sa už matematikom odstrániť toto protirečenie? Ak áno, tak ako?

Toto sa zato pýtam, lebo najnovšie platí definícia (ináč je to možné, že to nebolo niekedy nedávno „vymyslené“, ale je to už dávno známe, len ja som o tom nevedel), že medzi dvoma odlišnými ľubovoľne blízkymi racionálnymi (alebo iracionálnymi) číslami existuje nekonečne veľa iných reálnych (racionálnych a iracionálnych) čísel. Teraz neviem, že pri tomto poňatí či ešte platí horeuvedený paradox, alebo či sa to týmto odstránilo.

Pre info:

http://cs.wiki­pedia.org/wiki/Mo­hutnost_konti­nua